☆ Famille d'entiers divisibles par 30 - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) et \(N=n(n^2+5n+4)(2n^2+5n+2)\) . Démontrer que \(N\) est divisible par \(30\) .

Solution

On a \(30=5 \times 6\)  avec  \(5\)  et  \(6\)  premiers entre eux.

Montrons que \(N\) est divisible par \(5\) . On fait un tableau de congruences modulo \(5\) : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [5] &0&1&2&3&4\\ \hline n^2+5n+4 \equiv ... \ [5]&4& 10 \equiv 0& 18 \equiv 3&28 \equiv 3&40 \equiv 0\\ \hline 2n^2+5n+2 \equiv ... \ [5]&2&9 \equiv 4&20 \equiv 0&35 \equiv 0&54 \equiv 4\\ \hline N \equiv ... \ [5]&0&0&0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  
On en déduit que \(N\) est congru à \(0\) modulo \(5\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , autrement dit \(N\) est divisible par \(5\) .

Montrons que \(N\) est divisible par \(6\) . On fait un tableau de congruences modulo \(6\) : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [6] &0&1&2&3&4&5\\ \hline n^2+5n+4 \equiv ... \ [6]&4& 10 \equiv 4& 18 \equiv 0&28 \equiv 4&40 \equiv 4&54 \equiv 0\\ \hline 2n^2+5n+2 \equiv ... \ [6]&2&9 \equiv 3&20 \equiv 4&35 \equiv -1&54 \equiv 0&77 \equiv 5\\ \hline N \equiv ... \ [6]&0&12 \equiv 0&0&-12 \equiv 0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)    
On en déduit que \(N\) est congru à \(0\) modulo \(6\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , autrement dit \(N\) est divisible par \(6\) .

Comme \(N\) est divisible par \(5\) et par \(6\) , et comme \(5\) et \(6\) sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(N\) est divisible par \(5 \times 6=30\) .

Remarque  

Pour simplifier les calculs dans le tableau de congruences modulo  \(5\) , on peut d'abord remarquer que  \(n^2+5n+4 \equiv n^2+4 \ [5]\)  et que  \(2n^2+5n+2 \equiv 2n^2+2 \ [5]\) , puisque  \(5n \equiv 0 \ [5]\) .